Egyenletek

Az összenyomható gázokat hidrodinamikai (HD) közelítésben leíró egyenletrendszer levezetését számos könyv tárgyalja, példaul Landau és Lifsic [22]. Itt csupán az egyenletek felírására szorítkozunk. Mint a késõbbiekben látni fogjuk, legcélszerûbb, ha az egyenletrendszert megmaradási törvények formájában, nevezetesen a térfogatra integrált $\rho$ sûrûség, $\rho \mbox{\bf v}$ impulzussûrûség és $e$ energiasûrûség megmaradási egyenleteiként írjuk fel:

$$0 = \frac{\partial\rho}{\partial t}+\div(\rho\mbox{\bf v})$$ (6.1)

$$0 = \frac{\partial\rho\mbox{\bf v}}{\partial t}+\div(\mbox{\bf v}\rho \mbox{\bf v})+\mathrm{grad}p -\div\hat{\sigma}$$ (6.2)

$$0 = \frac{\partial e}{\partial t}+\div[\mbox{\bf v}(e+p)] -\div[ \mbox{\bf v}\cdot \hat{\sigma}] -\div(\kappa\mathrm{grad}T)$$ (6.3)

ahol $p$ a nyomás, $T$ a hõmérséklet, $\kappa$ a hõvezetési együttható, és

$$\hat{\sigma}=\nu\left[ \mathrm{grad}\mbox{\bf v}+ (\mbox{\bf v}\mathrm{grad}) -\frac{2}{3}\hat I \div\mbox{\bf v}\right]$$ (6.4)

a viszkozitási feszültségtenzor, melyben $\nu$ a belsõ súrlódási együttható. (A dinamikai viszkozitást $\nu$-vel jelöljük a szokásosabb $\eta$ helyett, ugyanis $\eta$-val majd a fajlagos ellenállást fogjuk jelölni.) A $\kappa$ és $\nu$ együtthatók általában függnek a hõmérséklettõl és a nyomástól.

A csillagközi gázok általában nagyon jó közelítéssel ideálisnak tekinthetõk, így a nyomás, a hõmérséklet, és az energiasûrûség között teljesülnek az alábbi összefüggések:

$$p = n k_B T = \frac{k_B}{m}\rho T$$ (6.5)

$$e = c_V n k_B T + \frac 1 2 \rho \mbox{\bf v}^2 = \frac{p}{\gamma-1} + \frac 1 2 \rho \mbox{\bf v}^2$$ (6.6)

ahol $k_B$ a Boltzmann állandó, $m$ az átlagos molekulatömeg,

$$n=\frac{\rho}{m}$$ (6.7)

a részecskesûrûség, $c_V$ az állandó térfogaton vett fajhõ, $c_p=c_V+1$ az állandó nyomáson vett fajhõ, és $\gamma=c_p/c_V$ az adiabatikus index. Egyatomos gázok esetén $c_V=3/2$, $c_p=5/2$, így $\gamma=5/3$. Csillagközi gázokban az átlagos részecske tömeg molekuláris hidrogén és hélium keverékében

$$m_{\rm mol}=\frac{n_\mathrm{H}2 m_p + n_\mathrm{He}4 m_p}{n_\mathrm{H}+n_\mathrm{He}}=\frac{7}{3}m_p$$ (6.8)

ahol $m_p$ a proton tömege és elhanyagoljuk az $m_e\ll m_p$ elektrontömeget és a neutron és proton tömege közti különbséget. A számszerû érték a csillagközi anyagra tipikus $n_\mathrm{He}/n_{\rm H_2}=20\%$ hélium-hidrogén molekula arányra vonatkozik. Atomos hidrogén és hélium keveréke esetén

$$m_{\rm atom}=\frac{n_\mathrm{H}m_p + n_\mathrm{He}4 m_p}{n_\mathrm{H}+n_\mathrm{He}}=\frac{14}{11}m_p$$ (6.9)

ahol a számszerû érték $n_\mathrm{He}/n_\mathrm{H}=10\%$-ra vonatkozik. Ha a hidrogén és a hélium is teljesen ionizált, és az elektronok ekvipartícióban vannak, akkor

$$m_{\rm ion}=\frac{n_\mathrm{H}(m_p+m_e) + n_\mathrm{He}4 (m_p+2m_e)}{2n_\mathrm{H}+3n_\mathrm{He}} =\frac{14}{23}m_p$$ (6.10)

Adiabatikus, más szóval hõátadástól mentes folyamat során az

$$s=c_V \ln \frac{p}{\rho^\gamma}$$ (6.11)

entrópia megmarad, azaz az állapotváltozás izentropikus, így a sûrûség és a nyomás között fennáll a

$$p \propto \rho^\gamma$$ (6.12)

arányosság.