Linearizálás

Közelítésünk szerint a rendszer kevéssé tér el néhány ismert egyensúlyi állapottól (melynek paraméterei: B$_0$, $\rho _0$, $p_0$, v$_0$, $\Phi _0$). Tetszõleges $Q$ fizikai mennyiség az egyensúlyi érték körül

$$Q=\sum_{n=1}^{\infty } \lambda ^n Q_n$$ (5.6)

sorba fejthetõ, ahol kedvezõ esetben $Q_n/Q_0\ll 1$, és $Q_{n+1}/Q_n< 1$ igaz. Ha eszerint fejtjük ki a a sorfejtésben a B, $\rho$, $p$, v, $\Phi$ mennyisegeket, és a sorfejtésben a $\lambda ^2$ és magasabb rendü tagokat elhanyagoljuk "linearizáltuk változóinkat.

$$* {\vc B}={\vc B}_0 + {\vc B}_1\lambda _1, \, \rho =\rho_0 + \rho _1\lambda _1, \, p=p_0 + p_1 \lambda _1$$ (5.7)

*

$${\vc v}={\vc v}_0 + {\vc v}_1 \lambda _1, \: \Phi =\Phi _0 + \Phi _1\lambda _1$$ (5.8)

Legegyszerûbben a Poisson 5.4 és a 5.3 kontinuitási egyenlet írható át.

$$\nabla ^2 \Phi_0 + \lambda \nabla ^2 \Phi _1 = 4\pi G \rho _0+4\pi G\lambda \rho _1$$ (5.9)

De $\nabla ^2\Phi _0=4\pi G\rho _0$, hiszen a nem perturbált mennyiségek kielégítik az egyensúlyi egyenleteket, és így:

$$\nabla ^2 \Phi _1 = 4\pi G\lambda \rho _1$$ (5.10)

Hasonlóan a perturbált kontinuitási egyenlet:

$$\pdee{\rho_1}{t} + \nabla (\rho _0{\vc v}_1+\rho _1{\vc v}_0) = 0$$ (5.11)

Az elsõ rendben közelített 5.5:

$$\nabla \times ({\vc v}_1\times {\vc B}_0) + \nabla \times (... ...\pdee{{\vc B}_1}{t} - \frac{1}{4\pi \sigma }\nabla ^2{\vc B}_1$$ (5.12)

A felhõben megjelenõ $\sigma$ vezetõképesség, mely magas hõmérsékleten jelentõs lehet, erõsen sûrûség és hõmérséklet függõ, de itt konstansnak vesszük.

Végül, ha 5.8 -et 5.1 -be helyettesítjük, a linearizált mozgásegyenletet kapjuk:

$$\pdee{{\vc v}_1}{t}+{\vc v}_0 \nabla {\vc v}_1+{\vc v}_1\na... ...\pi \rho_0} +\frac{({\vc B}_1\nabla ){\vc B}_0}{4\pi \rho _0}$$ (5.13)