A Lagrange-egyenletek megoldásához szükség van a perturbációs függvénynek a pályaelemek szerinti parciális deriváltjaira. Ezek képzéséhez R-et ki kell fejezni a pályaelemekkel. Mivel R a derékszögű koordinátákon keresztül igen bonyolultan függ a pályaelemektől, a perturbációs függvénynek a pályaelemekkel való kifejezése nehéz feladat, mely csak a pályaelemek szerinti sorfejtés formájában valósítható meg.

A bolygók perturbációit vizsgálva a pályák excentricitása és pályahajlása, valamint a fél nagytengelyek hányadosa tekinthető olyan kis mennyiségeknek, melyek szerint a sorfejtés elvégezhető. U. J. Leverrier a XIX. században (1855) a perturbációs függvény sorfejtését az excentricitásokra és pályahajlásokra nézve hetedrendig bezárólag vezette le (ez a sorfejtés 469 tagot tartalmazott). Amikor ez lehetővé vált, Leverrier számításait számítógéppel ellenőrizték. Leverrier levezetése olyan pontosnak bizonyult, hogy csak kisebb korrekciókra volt szükség.

A perturbációs függvény sorbafejtésével itt nem foglalkozunk, csupán néhány megjegyzésre szorítkozunk. Az r, r' vektorok közötti szöget ψ-vel jelölve a perturbációs függvény az

alakban írható, ahol

Fenti alakból látható a perturbációs függvénynek az a fontos tulajdonsága, hogy a koordináta-rendszer elforgatásával szemben invariáns (R kifejezésében csak távolságok és szögek vannak, ezek pedig forgatáskor nem változnak).

Mivel R mindkét bolygó koordinátáitól függ, sorfejtésében mindkét bolygó pályaelemei szerepelnek. A perturbáló bolygó pályaelemeit vesszővel jelölve, a perturbációs függvény D'Alembert-féle sorfejtése:

ahol λ, λ' a közepes pályamenti hosszúságok, j, q_i, j_i pedig összegző indexek. Az A_j(a,a') együtthatók a fél nagytengelyek homogén -1-edrendű függvényei, a j indexek a j_i-kkel vannak bonyolult kapcsolatban. A q_i , j_i indexekre teljesül, hogy

q_i >=0 egész; j_i pozitív vagy negatív egész, vagy 0; q_i-|j_i| >= 0 és páros (i=1,2,3,4), végül

ahol l >=0 egész szám. Ez a D'Alembert-szabály.

Látható, hogy D-ben minden összegző index kétszer szerepel, egyszer pozitív, egyszer negatív előjellel. Ez az R forgatással szembeni invarianciájának következménye. A perturbációs függvény fenti sorfejtése nem érvényes egymást metsző pályák esetén. Nem érvényes a Plútó-Neptunusz párra sem, mivel a Plútó pályája az ekliptika síkjára való vetületben metszi a Neptunusz pályáját.

Kis excentricitások és pályahajlások esetén R sorfejtése gyorsan konvergál, ha csak a/a' nem 1-hez közeli érték. A jelölések alkalmas megválasztásával elérhető, hogy a/a' mindig <1 legyen, azonban a/a'~ 1 esetén a konvergencia igen lassú. Ez a helyzet például a Trójai kisbolygók és a Jupiter esetében, így a Trójai kisbolygóknak a Jupitertől származó perturbációit más módon lehet csak meghatározni.

A perturbációs függvény sorfejtésének levezetésében fontos szerepet játszik a Laplace-féle sorfejtés. A perturbációs függvény fő része e=e'=0, i=i'=0 esetén a következőképpen írható:

ahol α=a/a'<1. R sorfejtésének levezetésekor az itt szereplő négyzetgyökös függvény -n/2 -ik hatványának sorfejtésére is szükség van, ahol n páratlan pozitiv egész (n=1,3,5,...). Ezt adja meg a Laplace-féle sorfejtés:

ahol b_n^(k)-k a Laplace-együtthatók, melyek az α paraméter függvényei. A Laplace-együtthatók α hatványai szerint haladó hatványsorokból, illetve rekurziós összefüggésekből számíthatók ki.