A klasszikus mechanika keretein belül az asztrofizikai, illetve a szoláris hidrodinamika általános egyenletei három alapelvre épülnek: első (i) a tömegmegmaradás, második (ii) az impulzusmegmaradás, és végül (iii) az energiamegmaradás. A következőkben röviden áttekintjük e három elv matematikai formulákban történő megfogalmazását.

Az impulzus megmaradásának elve a dinamika alaptörvényeként, azaz Newton II. törvényeként szerepel a fizikában. Ezt az axiómát is Leonhard Euler (1707-1783) alkalmazta először mozgó, áramló gázokra és folyadékokra, felfedezve azt a tényt, hogy az egyenletekben az ismeretlen függvények és deriváltfüggvényeik szorzata is fellép, azaz matematikai szakkifejezést használva: az egyenletek nemlineárisak. Ennek tulajdonságnak a káoszelmélet felfedezésekor sikerült kimutatni jelentőségét az 1960-as években. A folyadékok mozgásegyenletének továbbfejlesztése Claude Navier (1785-1836) francia mérnök nevéhez fűződik, végül ma is használt alakját, a napjainkban Navier-Stokes-egyenletként emlegetett alakot George Stokes (1819-1903) ír fizikus adta meg a XIX. század második felében.

Tehát a második alapelv az impulzus megmaradását fejezi ki. Newton II. axiómája szerint a tömeg és a gyorsulás szorzata a v térfogatban lévő anyagra ható erők eredőjével egyenlő, azaz a térfogati és felületi erők összegével.

(i) A térfogati erőknek nevezzük azokat az erőket, amelyek a test minden részére hatnak (mint pl. a nehézségi erő), és így arányosak annak térfogatával vagy tömegével (amennyiben megfelelően kis tartományra szorítkozunk). Ha elhanyagoljuk a csillag mágneses terét, akkor a tömegegységre jutó térfogati erő csak a nehézségi erőből származik, azaz

ahol V(x,t) a gravitációs potenciál, melyet az alábbi módon számíthatunk ki:

ahol G a gravitációs konstans.

(ii) A felületi erők viszont rövid hatótávolságuk miatt csak a tekintett anyagrész felülete mentén hatnak, és ezért a felülettel arányosak. A térfogatelem felülete mentén ható erők a szomszédos anyagrészektől származnak, pontosabban azon molekuláktól, amelyek a térfogatelemet határoló felület közvetlen környezetében vannak. Mivel ezek az ún. molekuláris erők nagyon rövid hatótávolságúak, ezért csak a felület közelében érzékelhetők, és emiatt nagyságuk a felülettel arányos. Ha a v(t) térfogatot határoló felület s(t), akkor jelölje a t vektor az n normálisú egységnyi felületre ható erőt, amelyet feszültségvektornak vagy röviden feszültségnek nevezünk. Ez általában nem merőleges a felületre. Tehát t feszültség értéke függ a helytől, az időtől, illetve a dS felületelem helyzetétől:

A deformálható testek mechanikájából ismeretes a feszültségvektor tenzorral kifejezett megadása, azaz

mely összefüggés szerint a t feszültségvektor az n egységvektornak lineáris vektorfüggvénye, ezért a T_ki kilenc mennyiség egy kétindexes tenzort alkot. Ezt a tenzort feszültségtenzornak nevezzük. A feszültségtenzor fizikai jelentése a következő: az azonos indexű, tehát a főátlóban álló elemek a felület normálisa irányába mutató feszültségek, a vegyes indexűek pedig a felület érintője mentén hatnak. Ezért az azonos indexű elemeket húzó- vagy nyomófeszültségeknek, a vegyes indexűeket nyíró- vagy csúsztató feszültségeknek nevezzük.

Felhasználva a térfogati és a felületi erők egyenleteit az impulzusmegmaradást kifejező egyenletet a következő alakban írhatjuk fel:

Ha felhasználjuk a transzport-egyenlet kontinuitási egyenlet segítségével levezetett alakját, akkor a fenti egyenlet az alábbi formában adható meg:

A felületre vonatkozó integrált a Gauss-Osztrogradovszkij-tétel alkalmazásával térfogati integrállá alakíthatjuk:

amivel

Ez az egyenlőség tetszőleges v(t) térfogat esetén is igaz, így fenáll

összefüggés, melyet először Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) vezetett le ebben az általános alakban. Ez tehát a plazma mozgásegyenlete általános alakban. Ez az egyenlet a bennük szereplő fizikai mennyiségeknek a test egyes pontjaiban felvett értékei között teremt kapcsolatot. A mozgásegyenletben a felületi erők járuléka formálisan úgy jelenik meg, mintha az is a térfogati erő sűrűsége lenne, hiszen a T_ki feszültségtenzor divergenciájának a tér egyes pontjaiban felvett értékei fordulnak elő a jobb oldalon. Ez azonban csak formálisan van így, mert ennek csak azokon a helyeken van zérustól különböző járuléka, ahol a feszültségtenzor változik a hellyel.

Az ideális folyadék mozgásegyenlete - Euler-egyenlet

A folyadékok - a tapasztalat szerint - térfogatváltozással nem járó alakváltozással szemben csak igen kicsi ellenállást mutatnak, ha a deformáció lassan megy végbe. A szomszédos folyadékrétegek nagyon kis erővel elcsúztathatók egymással, mely azt jelenti, hogyha a deformáció lassú, akkor a nyírófeszültségek elhanyagolhatóan kicsik, azaz pl. derékszögű koordinátákat használva Az olyan idealizált folyadékot, melynél a mozgás folyamán nem lépnek fel nyírófeszültségek súrlódásmentes vagy ideális folyadéknak nevezzük. Vizsgáljuk meg a feszültségtenzor azonos indexű elemeit, melyeket húzó- vagy nyomófeszültségeknek nevezünk. Szintén derékszögű koordinátákat használva a Txx az x normálisú lap felületegységére ható x irányú erőt jelenti, hasonlóan a másik két Tyy és Tzz azonos indexű elemnél az y, illetve a z normálisú lap esetén. A folyadékok elméletében a felületegységre merőlegesen ható erőt nyomásnak nevezzük, és akkor tekintjük pozitívnak, ha a tekintett térfogatelembe befelé mutat. Ennek megfelelően azaz ahol δik=1 ha i=k és δik=0 ha i≠k. Ha a térfogati erők esetén is behelyettesítjük a f=-gradV öszefüggést, akkor az ideális folyadék mozgásegyenletére az alábbi összefüggést kajuk melyet Euler vezetett le, és tiszteletére Euler-egyenletnek hívunk.

A súrlódó folyadék mozgásegyenlete - Navier-Stokes-egyenlet

A valódi folyadékok mozgása során - ellentétben az ideális folyadékokkal - a súrlódás következtében nyírófeszültségek is fellépnek a folyadékrétegek között. Erre mutat egyébként sok tapasztalat is, amely szerint az ideális folyadékok dinamikáját leíró elméletek egyes eredményei ellentmondásban vannak a megfigyelésekkel. Az ideális folyadékok elméletének továbbfejlesztése természetes módon adódik úgy, hogy az ideális folyadék feszültségtenzorát kiegészítjük egy taggal, amely a súrlódási erőtől származó feszültségeket tartalmazza, azaz ahol τik az ún. súrlódási vagy viszkózus tenzor. Újra a deformálható testek leírásához visszatérve, tudjuk, hogy a feszültségtenzornak szimmetrikusnak kell lennie, ezért τik súrlódási tenzor is szimmetrikus. Mivel a nyugvó folyadékokban súrlódás nem lép fel, a viszkózus tenzor a folyadék sebességterével van kapcsolatban oly módon, hogy nyugalmi állapotban eltűnik. Továbbá a folyadék transzlációs és forgó mozgásánál az egyes rétegek egymáshoz képest nem mozdulnak el, így nyírófeszültségek nem lépnek fel, ezért a súrlódási tenzor csak a deformációs sebességektől függ. George Stokes (1819-1903) ír fizikus gondolatmenetéhez hasonlóan a tapasztalattal jó egyezésben felvethető, hogy lineáris közelítésben az izotrop folyadékokra a τik súrlódási tenzor arányos a Dik deformációs tenzorral: ahol a deformációs tenzor tehát és μ valamint μϑ a belső súrlódásra jellemző anyagi együtthatók. Ezek a folyadék anyagi minőségétől és a hőmérséklettől függnek. Behelyettesítve korábbi eredményeinket a mozgásegyenlet Cauchy által levezetett általános alakjában, a következőt kapjuk ahol A fenti vektoregyenletet Navier-Stokes-egyenletnek nevezük. Ezen egyenletet tehát a súrlódó folyadékok mozgásegyenlete. A Navier-Stokes-egyenletek természetesen a μ=μϑ=0 esetben átmennek az ideális folyadékok mozgását leíró Euler-egyenletbe.

Mind az Euler- mind a Navier-Stokes-egyenlet tehét a folyadék áramlását határozza meg ideális, illetve súrlódó folyadék esetén. Azonban ebben az alakban még túl általánosak ahhoz, hogy belőlük az elmozdulásvektort a térkoordináták és az idő függvényében meghatározzuk, ugyanis a folyadékok áramlását leíró mozgásegyenletek parciális differenciálegyenletek. A konkrét fizikai feladatok megoldásához ezeket az egyenleteket ki kell egészíteni az ún. kezdeti és határfeltételekkel.